La palabra logaritmo normalmente la expresamos cuando deseamos saber a qué potencia se debe elevar el número 10 para obtener el valor deseado:

log(x) = n, lo que quiere decir es que, cuando elevamos 10 a la potencia x, nos debe dar n 

10^x = n

Y la las palabras logaritmo natural o neperiano lo usamos cuando deseamos encontrar el número al que se debe elevar el valor de 
e=2,7182182845... el cual es un número trascendental o irracional, esto es:

ln(x) = n entonces:

e^n = x
 

Los logaritmos decimales o vulgares son los que tienen base 10. Se representan por log (x).

Los logaritmos naturales o logaritmos neperianos son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).

Los logaritmos neperianios deben su nombre a su descubridor John Neper y fueron los primeros en ser utilizados.

El logaritmo es "el exponente" por el cual se ha elevado una base para obtener la potencia.